第五届 Xionger 网络数学竞赛试卷
非数学组
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\[ \]
1. (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
(1) 计算 \[
\int_0^{\frac \pi 2}\sin(x\sin(x\sin(x\sin\ \cdots ))) \mathrm dx . \]
(2) 计算
\[ \lim_{n\to \infty } \sum _ {k=-n }^n\sum_{i=1}^n \frac {k }{n (n+i ) }\cdot \sin \frac 1n \cdot \arctan \frac in\cdot \ln( 1+e^{ \frac kn }) . \]
(3) 设 \( \mathbb R^4 \) 中的方体 \( Q=\{ (x,y,\varphi ,\theta ) | \ 0\leq x,y ,\varphi ,\theta \leq \pi \} \) ,求 $$ \iiiint _ Q \frac{ \sin x\sin\varphi }{x\varphi } \mathrm dx\mathrm dy \mathrm d\varphi \mathrm d\theta.
$$
(4) 求$$\int_0^{\frac{\pi }{2}} \ln \left( \Gamma \left( \frac {1-\cos 2x }2 \right)\sqrt { \sin (\pi \sin ^2 x ) }
\right )\mathrm dx. $$
\[\]
2. (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
设 \( \mathfrak m \in \mathbb{R}^+ , \) \[ \;u(x)= \int_{x}^{x+1 }\ln \Gamma( t ) \mathrm dt- ( \mathfrak m-1) (x -1) + \frac 12 \ln( \frac {e ^ 2} {2\pi } ) \] 在
\( \mathbb R^+ \) 上存在唯一不变号零点. 函数
$$R(x)= \int_ x ^{x+1 }\ln \Gamma (t )
\mathrm dt
-\ln(x+1 )+x \;\;\; x\in (0,1 )
$$
设 \( p,q\) 都是不超过 10 的正整数, \( p\neq q\),
求所有的有序对 \( (p,q) \) , 满足$$R(x)>\frac{1}{2}-\frac {1}{\sqrt e}-\ln\frac{ |p-q|}{ \sqrt { 2\pi } \cdot \mathfrak m ^{p-q}}.
$$
在区间 (0,1) 恒成立.
\[\]
3. (屋寒大学, Baire 供题)
(1) 设 \(f(x)\) 是 \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 的函数, 若 \(\ln f(x) \) 是凸 (凹) 函数, 则称 \(f\) 是对数-凸 (对数-凹) 的, 证明: Gamma 函数 \( \Gamma(x)=\int _0 ^{+\infty} t^{x-1} {e}^{-t} \mathrm{d} t\) 在 \( (0,+\infty) \) 上是对数-凸的.
(2) 证明 Gautschi's 不等式
\[ x^{1-s}< \frac {\Gamma (s+1)}{\Gamma (x+s )}<(x+1 )^{1-s } \]
\( x>0, 0< s <1. \)
(3) 设 \(\alpha>0\), 研究级数 \(\sum \frac{n !}{\prod_{k=1}^n(\alpha+k)}\) 的敛散性.
\[\]4. (屋寒大学, Baire 供题)
设 \( {f}\) 为 \( \mathbb{R}^n\) 上的 \(C^2\) 映射. \(J {f}( {x}) \) 为 Jacobi 矩阵, 它的元素为 \(\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x), i, j=1,2, \cdots, n\). 在 Jacobi 行列式 \(\mathrm{det}(J f(x))\) 中对应的代数余子式为 \(A_{i j}(x), i, j=1,2, \cdots, n\). 证明如下的 Hadamard 恒等式:
$$
\sum_{i=1}^n \frac{\partial A_{i j}}{\partial x_i}(x)=0, j=1,2, \cdots, n .
$$ \[ \] \[\]
5. (屋寒大学, Baire 供题)
设 \(f\) 在 \([0,1]\) 上 \(n\) 阶连续可微, \(f\left(\frac{1}{2}\right)=0, f^{(i)}\left(\frac{1}{2}\right)=0, i=1,2, \cdots, n\) . 证明
$$
\left(\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x\right)^2 \leq\frac{1}{(2 n+1) 4^n(n !)^2} \int_0^1\left(f^{(n)}(x)\right)^2 \mathrm{~d} x .
$$ \[\]
6. (湖州师范学院, 阿渣 供题)
求所有满足下述条件的实数 \(a \in \mathbb{R}: \) 存在可微函数 \(f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)\) 使得
$$
f^{\prime}(x)=f(x+a), \quad \forall x \in \mathbb{R} .
$$
\[\]7. (湖州师范学院, 阿渣 供题)
设 \( \left(a_n\right)_{n \geq 1} \) 和 \(\left(b_n\right)_{n \geq 1}\) 是正实数列, 且满足
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{n}=a \in \mathbb{R}_{>0}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n+1}}{n b_n}=b \in \mathbb{R}_{>0} .
$$
计算
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n+1}}{\sqrt[n+1]{b_{n+1}}}-\frac{a_n}{\sqrt[n]{b_n}}\right)
$$
\[\]8. (家里蹲大学, Dylen 供题)
试证明:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^n|\sin (\pi x)|^x d x=\sqrt{\frac{8}{\pi}} .
$$
\[\]9. (云南大学, Ulyanov Aleksandr 供题)
Let \( n\) be any positive integer. Show that
$$
\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos (n \theta-2 \sin \theta) d \theta=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k !(n+k) !}
$$
\[\]10. (兰州大学, 按定义易证 供题)
定义一个 Fibonacci 数列, 满足 \( F_1=1, F_2=1, F_n=F_{n-1}+F_{n-2}, \forall n \geq 3\). 对每一个固定的 \( k \geq 1, k \in \mathbb{N}^{+}\), 定义一个新的数列 \( \left\{\frac{F_{m_0+n k}}{F_{m_0+(n+1) k}}\right\}_{n=0}^{+\infty}\left(m_0=0,1, \cdots, k-1\right)\). 证明: 这个新的数列收敛, 并求出收敛的极限.
\[\]
\[ \]
11. 非数学专业组: 特别附加题 【 童年回忆之神秘湖探险 】 (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
神秘湖坐落于阳光牧场的西南方, 前往神秘湖的码头, 南部尽头就是阳光海滩.
(I) 神秘湖近日遭受了暴雨的袭击, 神秘湖码头的道路上积水已经达到一米, 甚至有湖里的鱼儿游上岸来. 为了尽可能快排水, 城堡大厅的洛克行政官决心紧急调用5台抽水机, 去神秘湖码头抽水. 设抽水机抽水管横截面 \( S \) 是一个半径为 \(R \) 的圆形, \(S=\{ (x,y )| \; x^2+y^2\leq R^2 \}\). 平面不可压缩定常水流由速度向量\[ { V }= x u(x.y) { i }+ y u(x,y ) { j } \]
其中 \(u (x,y )\) 满足 \[ \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{ \partial ^2 u }{\partial x^2 } + \dfrac{ \partial ^2 u }{\partial y ^2 } =v(x,y)\ \ \forall (x,y)\in \mathbb R^2 \\| u(x,y)| \leq 2+
\arctan (x^2+y^2) \ \ \forall (x,y)\in \mathbb R^2 \\u(0,0)= 2\\|v(x,y)| \leq \dfrac{ \ln(1+ x^4+y^4 )}{ \ln (2+x^2+y^2 ) }\ \ \forall (x,y)\in \mathbb R^2\\v(0,0)=0\\ \dfrac{ \partial ^2 v }{\partial x^2 } + \dfrac{ \partial ^2 v }{\partial y ^2 } =v(x,y)\ \ \forall (x,y)\in \mathbb R^2
\end{array} \right. \]
求经过区域 \(S \) 边界 \( \partial S \)
流出的水流体的量 \(M \).
\[ \]
\[\]
(II) 暴雨过后的第二天, 黄昏, 摩乐乐、丫丽、布多多、布少少一行四人在神秘湖旁边散步. 忽然, 他们在沙滩上发现了一个奇怪的沙画, 只见上面写着 \[e^{i\pi }+1=0.\]
(1) 布少少表示他不明白这是什么东西, 丫丽解释说 \(i\) 是虚数单位, 可以使用 \(e^{i\theta }= \cos \theta+i\sin \theta, \ \theta \in \mathbb R \) 来得到沙画的式子.
\[\]
\[\]
第二天夜晚, 众人再次齐聚神秘湖岸边. 摩乐乐表示他回忆起 Fourier 级数表达式\[f(x)=\frac {a_0 }2+\sum_{n=1}^\infty ( a_n\cos nx+b_n \sin nx) \ \ \ x\in ( -\pi,\pi ) \]
其中 \[a_n= \frac 1
\pi \int _{-\pi }^{\pi} f(x) \cos nx\mathrm dx \]
\[b_n= \frac 1\pi \int_{-\pi } ^\pi f(x)\sin nx\mathrm dx \]
他认为这可以写成\[ f(x)=\sum_{ n=-\infty }^{\infty }A_n e^{inx } \]
其中 \[A_n= \frac 1{2 \pi} \int_{-\pi } ^\pi f(x) e^{-inx}\mathrm dx \]
请你证明摩乐乐想法的合理性.
\[\]
(2) 历经几个晚上的互相交流讨论以及证明推理，他们每一个人都得出了小结论. 请你通过证明判断这些结论是否正确.
布少少:
\[ \sum_{ -N\leq n \leq N } e^{int }=\frac {\sin ( N+\frac12)t }{\sin \frac t2 } \]
布多多:\[ \frac 1N \sum_{ m=0 }^{N-1 } \sum_{ -m\leq n \leq m } e^{int } =\frac1N \frac{\sin^2 \frac{ Nt} {2 }}{ \sin^2 \frac{ t} {2 } } \]
摩乐乐:
\[ \sum_{ -N\leq n \leq N } \mathrm{ sign }(n) e^{int }=\frac {\sin ( N+\frac12)t }{\sin \frac t2 } \]
丫丽: 假设黎曼可积函数 $f$ 有 Fourier 级数
$$
f(x) = \sum_{ n=-\infty }^{\infty } a_{n} e^{i n x}
$$
并且 $a_{n}$ 满足
$$
\left|n a_{n}\right| \leq C \ \ \ C>0
$$
则对任意正整数 $N$ 均有
$$
\left|\sum_{|n| \leq N} a_{n} e^{i n x}\right| \leq \sup |f|+\left (2- \ln( N+2 ) + \ln (N+1 ) \right ) C
$$
其中 \(\sup |f| \) 表示 \(|f| \) 的最大值.
\[ \]
\[\]
